7. Жорданова база линейного оператора.

Изложение этой темы заимствовано из работы Чур- кина В.А."Жорданова классификация конечномерных линейных операторов", Новосибирск: НГУ, 1991.

7.1. Ядерно-образные и корневые разложения.

Далее $\varphi , \sigma , \tau$,... -- линейные операторы в векторном пространстве V над полем k, $\varepsilon$ -- тождественный, o -- нулевой оператор.

7.1.1. Лемма (критерий прямого разложения).

$$V = Ker\varphi \oplus V\varphi \Longleftrightarrow V\varphi = V\varphi^2.$$

Доказательство. $\Longrightarrow$) Применить $\varphi$ к равенству $V = Ker\varphi + V\varphi$. $\Longleftarrow$). Так как ограничение $\varphi^{\prime}$ оператора $\varphi$ на $V\varphi$ -- отображение на $V\varphi$, то $Ker\varphi^{\prime}= Ker\varphi \cap V\varphi = 0$. Следовательно, $dim (Ker\varphi + V\varphi) = dim V$ и $V = Ker\varphi \oplus V\varphi$.

7.1.2. Лемма. Пусть $\sigma\tau = \tau\sigma = o$ и $\sigma^{\prime}\sigma + \tau^{\prime}\tau = \varepsilon$. Тогда $Ker\sigma = V\tau, Ker\tau = V\sigma$ и $V = Ker\sigma\tau = Ker\sigma \oplus Ker\tau = Ker\sigma \oplus V\sigma = V\tau \oplus Ker\tau = V\tau \oplus V\sigma$.

Доказательство. $\tau\sigma = o \Longleftrightarrow V\tau \subseteq Ker\sigma$. Далее, имеем $V = V\varepsilon = V(\sigma^{\prime}\sigma + \tau^{\prime}\tau)\subseteq V\sigma^{\prime}\sigma + V\tau^{\prime}\tau\subseteq V\sigma + V\tau$. Поэтому $V = V\sigma + V\tau$. Отсюда $dim V \leq dim V\sigma + dim V\tau \leq dim V\sigma + dim Ker\sigma = dim V$. Следовательно, неравенства должны быть равенствами: $dim V = dim V\sigma + dim V\tau,\ dim V\tau = dim Ker\sigma$. Поскольку $V = V\sigma + V\tau$ и $V\tau \subseteq Ker\sigma$, то $V = V\sigma \oplus V\tau$ и $V\tau = Ker\sigma$. Аналогично, $V\sigma = Ker\tau$, и лемма доказана.

Другое доказательство. $V = V\varepsilon = V(\sigma^{\prime}\sigma +\tau^{\prime}\tau) \subseteq V\si... ...me}\sigma + V\tau^{\prime}\tau \subseteq V\sigma + V\tau,\ V = V\sigma + V\tau$. Применяя $\sigma$ к этому равенству, получим, что $V\sigma = V\sigma^2$ . По лемме 7.1.1 $V = Ker\sigma \oplus V\sigma$. Так как $\tau\sigma = o$, то $V\tau \subseteq Ker\sigma$ и $V\tau \cap V\sigma = 0$. Значит, $V = V\sigma \oplus V\tau,\ dim V\tau = dim V - dim V\sigma = dim Ker\sigma$. Следовательно, $V\tau = Ker\sigma$. Аналогично, $V\sigma = Ker\tau$.

7.1.3. Теорема. Пусть многочлен f(x) с коэффициентами из k разложен в произведение взаимно простых множителей: $f(x) = f_1 (x)\cdots f_s (x),\ (f_i , f_j ) = 1$ при $i \neq j$. Если $f(\varphi) = o$ для линейного преобразования $\varphi$ векторного пространства V над полем k, то $V = Kerf(\varphi) = Kerf_1 (\varphi) \oplus ...\oplus Kerf_s (\varphi)$ и все слагаемые этого "ядерного" разложения $\varphi$-инвариантны.

Доказательство проведем индукцией по s с помощью леммы 7.1.2. При s = 1 утверждение тривиально. Сделаем индукционный шаг $s - 1 \Longrightarrow s$. Поскольку многочлены f₁ и $f_2 \cdots f_s$ взаимно просты, над k найдутся такие многочлены u и v, что $uf_1 + vf_2\cdots f_s = 1$. Если в это равенство подставить $\varphi$ вместо переменной x и обозначить $\sigma^{\prime}= u(\varphi),\ \sigma = f_1(\varphi),\ \tau^{\prime} = v(\varphi),\ \tau = f_2(\varphi)\cdots f_2(\varphi)$, то получим равенство $\sigma^{\prime}\sigma + \tau^{\prime}\tau = \varepsilon,\ \sigma\tau = \tau\sigma = f(\varphi) = o$. По лемме 7.1.2 $V = Kerf_1(\varphi) \oplus Vf_1 (\varphi),\ Vf_1 (\varphi) = Kerf_2 (\varphi)\cdots f_s (\varphi) = W$. Подпространство $W\ \varphi$-инвариантно, сужение $\varphi^{\prime}$ преобразования $\varphi$ на W удовлетворяет условиям теоремы для многочлена $g(x) = f_2(x)\cdots f_s(x)$ и по предположению индукции $W = Kerf_2(\varphi^{\prime}) \oplus \cdots\oplus Kerf_s(\varphi^{\prime})$. Осталось заметить, что $Kerf_i (\varphi^{\prime}) = Kerf_i (\varphi)$ при i > 2. Включение $\subseteq$ очевидно. Обратное включение следует из того, что $W \supseteq Kerf_i (\varphi)$ при $i \geq 2$. Теорема доказана.

Как следствие получается теорема о корневом разложении:

7.1.4. Теорема. Пусть k является полем разложения для характеристического полинома f(x) линейного преобразования $\varphi$ векторного пространства V на полем k. Пусть $f(x) = (x - \lambda_1)^{n_1}\cdots (x - \lambda_s)^{n_s}$, где $\lambda_i$ -- попарно различные элементы поля k. Тогда

$$V = Ker (\varphi - \lambda_1\varepsilon)^{n_1} \oplus\cdots\oplus Ker(\varphi - \lambda_s\varepsilon)^{n_s}$$

и каждое слагаемое $Ker(\varphi - \lambda_i\varepsilon)^{n_i}$ (оно называется корневым подпространством для преобразования $\varphi$, соответствующим характеристическому корню $\lambda_i$) $\varphi$-инвариантно.

7.1.5. Упражнение. Пусть $\pi_1 ,..., \pi_s$ -- такие линейные преобразования пространства V, что $\pi_1 +...+ \pi_s = \varepsilon,\ \pi_i\pi_j = o$ при всех $i\neq j,\ \pi_i \pi_i = \pi_i ,\ i,j = 1,...,s$. Доказать, что $V = V\pi_1 \oplus ...\oplus V\pi_s$ и что $\pi_i$ -- проектирование пространства V на подпространство $V\pi_i$ параллельно прямой сумме остальных подпространств $V\pi_j$.

7.2. Жорданово разложение.

Если все характеристические корни $\lambda_1 ,..,\lambda_s$ оператора $\varphi$ векторного пространства V над полем k лежат в k, то по теореме 7.1.4 $V = V_1 \oplus...\oplus V_s$, где $V_i= Ker(\varphi - \lambda_i\varepsilon)^{n_i}$ -- корневое подпространство, соответствующее корню $\lambda_i$. Каждый вектор $v\in V$ имеет единственную запись $v = v_1 +...+ v_s , v_i\in V_i ,\ i = 1,...,s$. Ввиду инвариантности корневых подпространств получаем следующую запись вектора $v\varphi$ в разложении пространства: $v\varphi = v_1\varphi + .. + v_s\varphi,\ v_i\varphi \in V_i$. Значит, действие оператора $\varphi$ на пространстве V восстанавливается из действий оператора $\varphi$ на корневых подпространствах V_i. Пусть $\psi = (\varphi - \lambda_i \varepsilon)\mid _{V_i}$ -- сужение оператора $\varphi - \lambda_i \varepsilon$ на подпространстве V_i . Так как $V_i= Ker(\varphi - \lambda_i\varepsilon)^{n_i}$ , то $\psi_i^{n_i} = o$. Такой оператор $\psi_i$ называется нильпотентным. Рассмотрим эту ситуацию отдельно, опуская индекс i. Итак, пусть далее $\psi$ -- нильпотентный оператор на пространстве V. Приведем простое доказательство разложимости пространства относительно нильпотентного оператора в прямую сумму так называемых циклических подпространств (жорданово разложение). Ниль-слоем длины l назовем набор векторов $u,u\psi,...,u\psi^{l-1}$, если $u\psi^l = 0$. Набор векторов, составленный из ниль-слоев, назовем жордановым. База пространства, являющаяся жордановым набором, называется жордановой базой. Запись жорданова набора в форме таблицы, строки которой составлены из ниль-слоев и все они имеют общую правую вертикальную границу, назовем жордановой таблицей. Элементарными преобразованиями жордановой таблицы назовем 1) прибавление к слою длины l расположенного под ним или над ним отрезка длины l из другого слоя, умноженного на число; 2) умножение слоя на ненулевое число; 3) перестановку слоев; 4) исключение нулевых векторов сдвигом слоя вправо. Отметим, что эти преобразования сохраняют и свойство таблицы быть жордановой, и линейную оболочку жорданова набора.

7.2.1. Лемма. Если набор векторов, составляющих правый столбец жордановой таблицы, линейно независим, то весь жорданов набор линейно независим.

Доказательство. Пусть $\sum_i\sum_j a_{ij}u_i\psi^j = 0$ и a_pq -- ненулевой коэффициент при самом левом векторе из жордановой таблицы. Подействуем на эту комбинацию преобразованием $\psi^r$ , где r -- число столбцов жордановой таблицы правее этого вектора. Тогда получим нулевую комбинацию векторов из последнего столбца с ненулевым коэффициентом a_pq при одном из векторов. Противоречие. Лемма доказана.

7.2.2. Теорема. Векторное пространство V относительно нильпотентного оператора $\psi$ имеет жорданову базу. Число s_p ниль-слоев длины p в этой базе не зависит от выбора базы и равно r_p-1 - 2r_p + r_p+1, где $r_i = dim V\psi^i$.

Доказательство. Пусть e₁ ,...,e_n - некоторая база пространства V. Составим жорданову таблицу из ниль-слоев с началами e₁ , ..., e_n. Элементарными преобразованиями 1 -- 4 можно перестроить таблицу так, что набор векторов ее правого столбца станет линейно независимым. Утверждается, что соответствующий этой таблице набор векторов образует жорданову базу. В самом деле, линейная независимость следует из леммы, а максимальность -- из сохранения линейной оболочки при элементарных преобразованиях и из того, что исходный жорданов набор включал базу пространства. Пусть дана произвольная жорданова база и s_p -- число ниль-слоев длины p из нее. Тогда легко указать базы пространств $V\psi, V\psi^2 ,...$ и подсчитать их размерности:

r0 = dimV	=	s1+2s2+3s3+4s4+...
$r_1 = dimV\psi$	=	s2+2s3+3s4+...
$r_2 = dimV\psi^2$	=	s3+2s4+...
....		...

Вычитая из каждого уравнения следующее, а затем из каждой разности следующую, получаем, что s_p = r_p-1 - 2r_p + r_p+1. Теорема доказана.

7.3. Матричная форма теоремы Жордана

Пусть e₁ ,...,e_n - база пространства V над полем k, содержащим все корни $\alpha_1,...,\alpha_s$ оператора $\varphi$, который действует на V, и пусть A -- матрица оператора $\varphi$ в этой базе. Фиксируем в корневом подпространстве V_i жорданову базу относительно оператора $\psi_i = (\varphi-\alpha_i\varepsilon)\mid_{V_i}$, занумеруем ее векторы, составляющие жорданову таблицу, по ниль- слоям слева направо, перечисляя сами ниль-слои сверху вниз. Объединение таких баз назовем жордановой базой для оператора $\varphi$. Вычислим матрицу оператора в жордановой базе. Если f_p - последний вектор ниль-слоя в пространстве V_i , то $f_p \psi_i = 0$ и, значит, $f_p \varphi = f_p (\psi_i + \alpha_i\varepsilon) = f_p\psi_i + \alpha_if_p = \alpha_if_p$. Если f_p -- не последний вектор в ниль-слое, то $f_p \psi_i = f_{p+1}$ и $f_p \varphi = \alpha_if_p + f_{p+1}$. Следовательно, координатная строка вектора $f_p \varphi$ в базе f₁ ,...,f_n имеет вид $(0,...,0,\alpha_i,0,0,...,0)$ или $(0,...,0,\alpha_i,1,0,...,0)$, соответственно, где $\alpha_i$ -- p-я компонента строки. Поэтому матрица A_J оператора $\varphi$ в этой базе клеточно диагональна, диагональные жордановы клетки имеют вид

$$\left [\begin{array}{lllcl} \alpha_i&1&0&...&0\\ 0&\alpha_i&1&...&0\\ .&.&.&...&.\\ 0&0&0&...&\alpha_i \end{array}\right ]$$

и имеют размер t, если отвечают ниль-слою длины t в жордановой базе корневого подпространства V_i . Отсюда сумма размеров жордановых клеток с числом $\alpha_i$ на диагонали равна размерности пространства V_i и равна кратности корня $\alpha_i$ для характеристического многочлена оператора $\varphi$. Кроме того, ввиду теоремы 7.2.2 число s_p жордановых клеток размера p с характеристическим корнем $\alpha_i$ на диагонали равно $r_{p-1}(\psi_i)- 2r_p(\psi_i)+ r_{p+1}(\psi_i)$, где $r_t(\psi_i)= dim V_i \psi^t = dim V (\varphi - \alpha_i\varepsilon)^t$. Ввиду разложения $V = V_i \oplus W$ из теоремы 7.1.4 имеем $V(\varphi - \alpha_i\varepsilon)^t = V_i(\varphi - \alpha_i\varepsilon) + W$ и, если $r_p = dim V(\varphi - \alpha_i\varepsilon) = ранг(A - \alpha_iE),\ d = dim W$, то $r_p(\psi) = r_p - d$ и s_p = r_p-1 - 2r_p + r_p+1. При этом $r_t = ранг(A - \alpha_iE)$ . Следовательно, матрица A_J линейного оператора в жордановой базе определяется по матрице A оператора в некоторой базе единственным образом с точностью до перестановки жордановых клеток по диагонали. Она называется жордановой формой исходной матрицы. Любая клеточно-диагональная матрица с жордановыми диагональными клетками называется жордановой матрицей. Пусть T - матрица перехода от базы e₁ ,...,e_n к базе f₁ ,..., f_n. Тогда A_J = TAT^-1 ввиду связи между матрицами оператора в разных базах. Следовательно, всякая матрица подобна жордановой матрице над полем, содержащим характеристические корни исходной матрицы.